실수열 \left \{ a_{n} \right \}, \left \{ b_{n} \right \}에 대하여 b_{n}=a_{\sigma(n)}을 만족하는 일대일대응 \sigma : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}이 존재하면 \left \{ b_{n} \right \}을 \left \{ a_{n} \right \}의 \sigma-재배열이라고 한다.
이때, \lim_{n }|\sigma(n)-n|=\infty 이면 이 재배열을 악귀같다고 한다.
\left \{ b_{n} \right \}이 \left \{ a_{n} \right \}의 악귀같지 않은 재배열이면, \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}과 \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}은 같은 값으로 수렴하거나, 발산한다.
pf) \left \{ b_{n} \right \}이 \left \{ a_{n} \right \}의 악귀같지 않은 재배열이므로 b_{n}=a_{\sigma(n)}을 만족하는 일대일대응 \sigma : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}이 존재하고, |\sigma(n)-n|은 유계이다.
따라서 \forall n,\,|\sigma(n)-n|\leq M을 만족하는 M\in \mathbb{N}이 존재한다.
또한 \sigma가 일대일대응이므로 그 역 \sigma^{-1}이 존재하고 a_{n}=b_{\sigma^{-1}(n)}를 만족한다. 따라서 \left \{ a_{n} \right \}은 \left \{ b_{n} \right \}의 \sigma^{-1}-재배열이다.
\forall n,\,|\sigma^{-1}(n)-n|=|\sigma(\sigma^{-1}(n))-\sigma^{-1}(n)|\leq M이므로 |\sigma^{-1}(n)-n| 또한 유계이다.
따라서 \left \{ a_{n} \right \}은 \left \{ b_{n} \right \}의 악귀같지 않은 재배열이다.
먼저 \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}이 수렴하는 경우, 그 수렴값을 L로 두자.
그럼 \forall \varepsilon >0,\,n> N_1 (\varepsilon ) \Rightarrow |\sum_{i=1}^{n}a_i -L|<\varepsilon 을 만족하는 함수 N_1 : \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{N}이 존재한다.
또한 \lim_{n }a_n =0 이므로 \forall \varepsilon >0,\,n> N_2 (\varepsilon ) \Rightarrow |a_n|<\varepsilon 을 만족하는 함수 N_2 : \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{N}가 존재한다.
이제 함수 N_3 : \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{N}을 N_3 (\varepsilon ) = \max( N_{1}( \frac{\varepsilon}{2} )+M,\,N_{2}( \frac{\varepsilon}{4M})+M-1 )로 정의하면,
\forall \varepsilon >0,\,n> N_3 (\varepsilon ) \Rightarrow |\sum_{i=1}^{n}b_i -L|<\varepsilon을 만족함을 보이자.
주어진 \varepsilon >0에 대하여, n> N_3 (\varepsilon ) 이면 우선 n>M이다.
n>M이므로 두 집합 H_n=\left\{ 1,\,2,\, \dots,\,n+M \right\}, L_n=\left\{ 1,\,2,\, \dots,\,n-M \right\}을 생각할 수 있다.
\left \{ b_{n} \right \}의 부분합은 \sum_{i=1}^{n}b_i=\sum_{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}이므로 그 첨자집합 I_n=\left\{\sigma (1),\,\sigma (2),\, \dots,\,\sigma (n) \right\}을 얻는다.
이제 \sigma(i), \, \sigma^{-1}(i) \leq i+M임을 이용해 L_n \subset I_n \subset H_n을 보이자.
i \in I_n이면 i=\sigma(j)를 만족하는 1\leq j \leq n이 존재하고, i=\sigma(j) \leq j+M \leq n+M이므로 i \in H_n이다. 따라서 I_n \subset H_n이다.
i \in L_n이면 1\leq i \leq n-M이고, \sigma^{-1}(i) \leq i+M \leq n이므로 i=\sigma(\sigma^{-1}(i)) \in I_n이다. 따라서 L_n \subset I_n이다.
L_n \subset I_n \subset H_n을 보였으므로 (I_n \setminus L_n) \subset (H_n \setminus L_n)을 얻는다. 또한 H_n \setminus L_n=\{n-M+1,\,n-M+2,\,\dots,\,n+M \} 임을 안다. 이를 종합하여 \left \{ b_{n} \right \}의 부분합이 갖는 범위를 구해보면, |\sum_{i=1}^{n}b_i-L|=|\sum_{i=1}^{n}a_{\sigma( i)}-L|=|\sum_{i\in I_n}^{}a_{ i}-L|=|\sum_{i \in L_n}^{}a_{ i}-L+\sum_{i\in I_n \setminus L_n}^{}a_{ i}| \le \\ |\sum_{i=1}^{n-M}a_{ i}-L|+\sum_{i\in I_n \setminus L_n}^{}|a_{ i}|\le |\sum_{i=1}^{n-M}a_{ i}-L|+\sum_{i\in H_n \setminus L_n}^{}|a_{ i}|=|\sum_{i=1}^{n-M}a_{ i}-L|+\sum_{i=n-M+1}^{n+M}|a_{ i}|
인데 n>N_3( \varepsilon)=\max( N_{1}( \frac{\varepsilon}{2} )+M,\,N_{2}( \frac{\varepsilon}{4M})+M-1 ), 즉 n>(N_{1}( \frac{\varepsilon}{2} )+M) \wedge n>(N_{2}( \frac{\varepsilon}{4M})+M-1) 이므로 n>(N_{1}( \frac{\varepsilon}{2} )+M) \Rightarrow (n-M)>N_{1}( \frac{\varepsilon}{2} ) \Rightarrow |\sum_{i=1}^{n-M}a_{ i}-L|<\frac{\varepsilon}{2} n>(N_{2}( \frac{\varepsilon}{4M})+M-1) \Rightarrow (n-M+1)>N_{2}( \frac{\varepsilon}{4M}) \Rightarrow \sum_{i=n-M+1}^{n+M}|a_{ i}|<\sum_{i=n-M+1}^{n+M}\frac{\varepsilon}{4M}=\frac{\varepsilon}{2}
두 식을 더하면 |\sum_{i=1}^{n}b_i -L|\le|\sum_{i=1}^{n-M}a_{ i}-L|+\sum_{i=n-M+1}^{n+M}|a_{ i}|<\varepsilon이다.
따라서 \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}은 \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}와 같은 값 L로 수렴한다.
다음으로 \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}가 발산하는 경우를 살펴보자. 만약 \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}이 수렴한다고 가정하면, \left \{ a_{n} \right \}은 \left \{ b_{n} \right \}의 악귀같지 않은 재배열이므로 \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}도 수렴한다. 이는 모순이므로, \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}도 발산한다.
따라서 \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}과 \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}은 같은 값으로 수렴하거나, 발산함이 증명되었다.
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