아 제발 발산
교대급수네 뒷부분양수네 0으로가네
...감소까지하네 수렴이네
너 뭘로 수렴하니
오토케... 푸러야... 될까요...$$\frac{n+1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+2})$$
아하 이게 네놈의 정체냐?
그러면 이걸 1일때 더하고 2일때 빼고...$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{n^2+2n}=\frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\dots)$$
이거 다 세보면 1/1 한번더해 1/2 한번빼 1/3 두번더해 1/4 두번빼 1/5 두번더해 1/6 두번빼
아 1/1이랑 1/2도 두번으로 만들어주면 log2 나오는 교대조화 그거네!$$\frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\dots)\\=\frac{1}{2}(-\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+2(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\dots))\\=-\frac{1}{4}+(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\dots)=\log2-\frac{1}{4}$$
EZ하구연~
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아니아니아니아니 내점수 다 어디감?
그래그래그래그래 잘왔다 이걸 풀이라고 써논거냐
$$\frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\dots)\\ \frac{1}{2}(-\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+2(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\dots))$$
이거 두개가 어떻게 똑같아 절댓값 씌워보면 조화급수 꼴이라 절대수렴 안하는데 막 항들 위치 바꾸고 하면 되겠음?
아니 먼소리임 덧셈밖에 안하는데 교환법칙 결합법칙은 출근안했나
님 수업 듣긴함? 나는 저거 내맘대로 순서 바꾸면 님 학번으로 수렴하게도 만들수있음
저건 뭔 악귀같은 재배열이여 나는 저런 변태같은짓 안했음;; 그냥 옆으로 한칸씩만 적당히 자리바꿔주면 성립하는데
$$\color{Cyan} \frac{1}{1}+\frac{1}{3}\color{Magenta}- \frac{1}{2} -\frac{1}{4}\color{Cyan}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\color{Magenta}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\color{Cyan}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\color{Magenta}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\color{Cyan}+\dots\ \\ \color{Cyan} \frac{1}{1}\color{Magenta}-\frac{1}{2}\color{Cyan}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\color{Magenta}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\color{Cyan}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\color{Magenta}-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\color{Cyan}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\color{Magenta}-\dots$$
아 어쨌든 한칸이라도 바꿨잖아ㅋㅋㅋ 절대수렴 아니면 한칸이라도 바꿨을때 달라질수있다고
아니 난 저런 악귀짓 안하고 그냥 당연한 식변형 했는데? 울프럼도 수렴값 맞다는데?
언제부터 단답형이었냐 서술을 해라 서술을! 엄밀은 생명 엄밀은 생명
꼬우면 '악귀같지 않은' 재배열은 해도 결과 안변한다는거 증명해오던가ㅋㅋㅋ
물론 이제와서 해와도 점수는 안준다 5점따리 5점따~
존 나 꼽 다 ! ! !
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2023.03.30 - [A+] - 악귀같지 않은 재배열 보조정리
참고) 본 보조정리에 의해, 두 급수가 모두 수렴할 때는 반드시 수렴값까지 같음이 보장된다.
하지만 두 급수가 모두 발산할 때는 그 발산의 종류(무한히 커짐, 무한히 작아짐, 진동)가 같음을 보장할 수 없다.
수렴하는 급수는 일반항이 0으로 간다는 좋은 성질을 가지고 있기 때문에 부분합의 계산 도중 재배열되어 빠지거나 들어가는 유한 개의 항들을 통제할 수 있었지만, 항이 유한 개라도 그 각각이 발산해버리면 통제불능이 된다.
초록색 급수 1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+7+(-8)...은 양의 무한대와 음의 무한대 사이에서 진폭이 점점 커지며 진동하는 급수이다.
파란색 급수 1+3+5+(-2)+7+(-4)+9+(-6)+...는 양의 무한대로 발산하는 급수이고,
빨간색 급수 (-2)+(-4)+1+(-6)+3+(-8)+5+(-10)+...는 음의 무한대로 발산하는 급수이다.
파란색, 빨간색 급수는 초록색 급수의 각 항들을 원래 위치에서 고작 최대 2칸씩 이동시켜 만들 수 있는 재배열임에도 불구하고 이렇게 엄청난 차이를 불러온다. 당연히 파란색과 빨간색 사이의 직접 재배열도 가능하니, 이 경우에는 불과 4칸씩의 이동으로 양의 무한대가 음의 무한대로, 혹은 그 역으로 바뀌는 것이다.
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