악귀같지 않은 재배열 보조정리

실수열 $\left \{ a_{n} \right \}$, $\left \{ b_{n} \right \}$에 대하여 $b_{n}=a_{\sigma(n)}$을 만족하는 일대일대응 $\sigma : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$이 존재하면 $\left \{ b_{n} \right \}$을 $\left \{ a_{n} \right \}$의 $\sigma$-재배열이라고 한다.

이때, $\lim_{n }|\sigma(n)-n|=\infty $이면 이 재배열을 악귀같다고 한다.

 

$\left \{ b_{n} \right \}$이 $\left \{ a_{n} \right \}$의 악귀같지 않은 재배열이면, $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$과 $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$은 같은 값으로 수렴하거나, 발산한다. 

 

pf) $\left \{ b_{n} \right \}$이 $\left \{ a_{n} \right \}$의 악귀같지 않은 재배열이므로 $b_{n}=a_{\sigma(n)}$을 만족하는 일대일대응 $\sigma : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$이 존재하고, $|\sigma(n)-n|$은 유계이다.

따라서 $\forall n,\,|\sigma(n)-n|\leq M$을 만족하는 $M\in \mathbb{N}$이 존재한다.

 

또한 $\sigma$가 일대일대응이므로 그 역 $\sigma^{-1}$이 존재하고 $a_{n}=b_{\sigma^{-1}(n)}$를 만족한다. 따라서 $\left \{ a_{n} \right \}$은 $\left \{ b_{n} \right \}$의 $\sigma^{-1}$-재배열이다.

$\forall n,\,|\sigma^{-1}(n)-n|=|\sigma(\sigma^{-1}(n))-\sigma^{-1}(n)|\leq M$이므로  $|\sigma^{-1}(n)-n|$ 또한 유계이다.

따라서 $\left \{ a_{n} \right \}$은 $\left \{ b_{n} \right \}$의 악귀같지 않은 재배열이다.

 

먼저 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$이 수렴하는 경우, 그 수렴값을 $L$로 두자.

그럼 $\forall \varepsilon >0,\,n> N_1 (\varepsilon ) \Rightarrow |\sum_{i=1}^{n}a_i -L|<\varepsilon $을 만족하는 함수 $N_1 : \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{N}$이 존재한다. 

또한 $\lim_{n }a_n =0 $이므로 $\forall \varepsilon >0,\,n> N_2 (\varepsilon ) \Rightarrow |a_n|<\varepsilon $을 만족하는 함수 $N_2 : \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{N}$가 존재한다.

 

이제 함수 $N_3 : \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{N}$을 $$ N_3 (\varepsilon ) = \max( N_{1}( \frac{\varepsilon}{2} )+M,\,N_{2}( \frac{\varepsilon}{4M})+M-1 )$$로 정의하면, 

$\forall \varepsilon >0,\,n> N_3 (\varepsilon ) \Rightarrow |\sum_{i=1}^{n}b_i -L|<\varepsilon$을 만족함을 보이자.

 

주어진 $\varepsilon >0$에 대하여, $n> N_3 (\varepsilon )$ 이면 우선 $n>M$이다.

$n>M$이므로 두 집합 $H_n=\left\{ 1,\,2,\, \dots,\,n+M  \right\}$, $L_n=\left\{ 1,\,2,\, \dots,\,n-M  \right\}$을 생각할 수 있다.

$\left \{ b_{n} \right \}$의 부분합은 $\sum_{i=1}^{n}b_i=\sum_{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}$이므로 그 첨자집합 $I_n=\left\{\sigma (1),\,\sigma (2),\, \dots,\,\sigma (n) \right\}$을 얻는다.

이제 $\sigma(i), \, \sigma^{-1}(i) \leq i+M$임을 이용해 $L_n \subset I_n \subset H_n$을 보이자.

 

 

$i \in I_n$이면 $i=\sigma(j)$를 만족하는 $1\leq j \leq n$이 존재하고, $i=\sigma(j) \leq j+M \leq n+M$이므로 $i \in H_n$이다. 따라서 $I_n \subset H_n$이다.

$i \in L_n$이면 $1\leq i \leq n-M$이고, $\sigma^{-1}(i) \leq i+M \leq n$이므로 $i=\sigma(\sigma^{-1}(i)) \in I_n$이다. 따라서 $L_n \subset I_n$이다.

 

 

$L_n \subset I_n \subset H_n$을 보였으므로 $(I_n \setminus L_n) \subset (H_n \setminus  L_n)$을 얻는다. 또한 $H_n \setminus  L_n=\{n-M+1,\,n-M+2,\,\dots,\,n+M \} $임을 안다. 이를 종합하여 $\left \{ b_{n} \right \}$의 부분합이 갖는 범위를 구해보면, $$|\sum_{i=1}^{n}b_i-L|=|\sum_{i=1}^{n}a_{\sigma( i)}-L|=|\sum_{i\in I_n}^{}a_{ i}-L|=|\sum_{i \in L_n}^{}a_{ i}-L+\sum_{i\in I_n \setminus L_n}^{}a_{ i}| \le \\ |\sum_{i=1}^{n-M}a_{ i}-L|+\sum_{i\in I_n \setminus L_n}^{}|a_{ i}|\le |\sum_{i=1}^{n-M}a_{ i}-L|+\sum_{i\in H_n \setminus L_n}^{}|a_{ i}|=|\sum_{i=1}^{n-M}a_{ i}-L|+\sum_{i=n-M+1}^{n+M}|a_{ i}|$$

인데 $n>N_3( \varepsilon)=\max( N_{1}( \frac{\varepsilon}{2} )+M,\,N_{2}( \frac{\varepsilon}{4M})+M-1 )$, 즉 $n>(N_{1}( \frac{\varepsilon}{2} )+M) \wedge n>(N_{2}( \frac{\varepsilon}{4M})+M-1) $ 이므로 $$n>(N_{1}( \frac{\varepsilon}{2} )+M) \Rightarrow (n-M)>N_{1}( \frac{\varepsilon}{2} ) \Rightarrow |\sum_{i=1}^{n-M}a_{ i}-L|<\frac{\varepsilon}{2}$$ $$n>(N_{2}( \frac{\varepsilon}{4M})+M-1) \Rightarrow (n-M+1)>N_{2}( \frac{\varepsilon}{4M}) \Rightarrow \sum_{i=n-M+1}^{n+M}|a_{ i}|<\sum_{i=n-M+1}^{n+M}\frac{\varepsilon}{4M}=\frac{\varepsilon}{2}$$

 

두 식을 더하면 $|\sum_{i=1}^{n}b_i -L|\le|\sum_{i=1}^{n-M}a_{ i}-L|+\sum_{i=n-M+1}^{n+M}|a_{ i}|<\varepsilon$이다.

따라서 $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$은 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$와 같은 값 $L$로 수렴한다.

 

다음으로 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$가 발산하는 경우를 살펴보자. 만약 $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$이 수렴한다고 가정하면, $\left \{ a_{n} \right \}$은 $\left \{ b_{n} \right \}$의 악귀같지 않은 재배열이므로 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$도 수렴한다. 이는 모순이므로, $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$도 발산한다.

 

따라서 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$과 $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$은 같은 값으로 수렴하거나, 발산함이 증명되었다.